Einen Würfel zerlegen durch einen glatten Schnitt – Altbekannte geometrische Polygone entstehen

Wie können wir helfen?

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Stellt man sich einmal die Frage, welche geometrischen Formen entstehen können, wenn man einen gegebenen Würfel mit einem ebenen Schnitt in zwei gleiche Teile zerlegt, so sind ein einfacher Holzwürfel und ein passender Gummiring zwei sehr nützliche Hilfsmittel, um experimentell Schnittmöglichkeiten herauszufinden. Dieser schnelle und anschauliche Weg entspricht ganz und gar dem Prinzip der Mathothek: Mathothek – Mathematik begreifbar machen.

Für die Herstellung der möglichen Würfelzerlegungen kann man dann die Schnittkanten auf die sechs Würfelseiten aufzeichnen. Mithilfe der Winkel der Schnittlinien zu den Würfelkanten lässt sich dann überprüfen, ob es sich tatsächlich um einen ebenen Schnitt handelt.

Das Ausprobieren mit dem Holzwürfel und dem roten Gummiring führt dann zu folgendem Ergebnis, bei dem die Schnittfläche ein regelmäßiges Sechseck ist:

Benutzt man die farbigen Würfelteile des Exponats, so stellt man leicht fest, wann welche Schnittfläche welche geometrische Form hat.

Ein Quadrat entsteht:

Ein Rechteck (das kein Quadrat ist) entsteht:

a) in dem Extremfall, wenn die Schnittfläche durch zwei parallele Würfelkanten geht, die sich gegenüber befinden,

b) immer dann, wenn der Schnitt die Kanten nicht halbiert, aber die Kanten umgekehrt proportional schneidet, so wie es die gezeichnete Schnittlinie zeigt.

Eine Raute, das ist ein Viereck mit vier gleichlangen Seiten und gleich großen gegenüberliegenden Winkeln, entsteht:

a) dann, wenn die Schnittfläche diagonal durch den Würfel erfolgt und durch zwei diagonal gegenüberliegende Ecken geht.

b) Führt man den ebenen Schnitt aus, wie mit dem Gummiring am Beispiel gezeigt wird, so erhält man als Schnittfläche ein Parallelogramm, das ebenfalls eine Raute ist, weil seine Seiten gleichlang sind.

Auch wenn Raute und Rechteck beides Parallelogramme sind, so gibt es aber auch Parallelogramme, die weder zu den Rauten noch zu den Rechtecken gehören, “echte” Parallelogramme. Eine solche Schnittfläche erhält man, wenn die Schnittfläche wie beim obigen Beispiel angelegt wird.

Ein regelmäßiges Sechseck entsteht:

Natürlich steht es uns auch offen, die Bedingung, dass die beiden entstehenden Teilkörper gleich sein müssen, wegzulassen. Es entstehen folglich asymmetrische Würfelteile. Zwar wird dann natürlich die Anzahl der möglichen Würfelzerlegungen viel größer, aber nicht unbedingt interessanter.

Hier ein paar Beispiele:

Natürlich lässt sich bei einem Würfel mit einem ebenen Schnitt auch eine dreieckige Schnittfläche erzeugen. Dann passiert es aber nicht, dass der Würfel in zwei gleiche Teilkörper zerlegt wird, wie man an folgendem Geschicklichkeitsspiel erkennen kann, bei dem der Schnitt so angelegt wurde, dass ein möglichst großes gleichseitiges Dreieck im Würfel entsteht.

Es gibt in der Mathothek eine Anzahl von Geschicklichkeitsspielen, bei denen  Kugeln im Inneren eines transparenten Plexiglaswürfels zu bestimmten Zielen durch geeignete Bewegungen des Würfels gebracht werden sollen. Bei diesen Objekten dienen häufig solche oben beschriebenen Schnittebenen als Hindernisse oder Einbauten in den transparenten  Würfeln. Hier sind die Fotos dreier solcher Würfel mit einem Rechteck bzw. einer Raute als Schnittfläche mit den durch sie erzeugten gleichen Würfelteilen zu sehen:

 

Inzwischen ist diese kleine Sammlung mit weiteren Würfelzerlegungen bereichert worden, bei denen – mit Ausnahme des ersten Beispiels – die Bedingung nicht mehr erfüllt werden muss, dass die durch ebene Schnitte erzeugten Teilkörper des Würfels zwei symmetrische Körper sein müssen.

Allerdings kann man jetzt eine Hilfe bei der Zusammensetzung der Würfelteile benutzen, nämlich einen halben Hohlwürfel:

Die folgende Zerlegung besteht aus drei Teilen:

Auch bei der nächsten Zerlegung gilt es, vier nicht gleiche Würfelteile zusammenzusetzen. Allerdings handelt es sich um zwei Paare von gleichen Teilen:

Ein weiteres Beispiel besteht aus drei Teilen, von denen zwei gleich sind:

Das letzte Beispiel besteht aus vier gleichen Teilen, nämlich dreiseitigen Pyramiden, deren Seiten rechtwinklig sind, und einem Tetraeder, mit natürlich vier gleichseitigen Dreiecken als Seiten, die den Grundflächen der vier kleinen Pyramiden entsprechen. 

Bei diesen Würfelzerlegungen treten mehrfach gleichseitige Dreiecke als Schnittflächen auf. Das führt zu weiteren Ideen für ähnliche Geschicklichkeitsspielen, wie sie oben beschrieben wurden und in der Mathothek vorhanden sind:

Der “halbe Hohlwürfel” gehört ursprünglich zu einem anderen Exponat, bei dem es um die Volumenberechnung bei Pyramiden geht. Aber es handelt sich auch hier um eine Würfelzerlegung: Ein Würfel wird in drei schiefe Pyramiden zerlegt, die die gleichen quadratischen Grundflächen und dieselbe Höhe, also auch dasselbe Volumen besitzen. Wesentlich bei solchen Volumenberechnungen ist das Prinzip von Cavalieri.

Mit dem Inhalt dieses Kastens lässt sich spielend eine ganze Menge an Erfahrungen machen und der Vorrat an räumlichen Vorstellungen beträchtlich erweitern:

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