Mathothek

Wie bringt man die in der Überschrift genannten Dinge “auf einen gemeinsamen Nenner”? Wie kommt man zu der Redewendung “… auf einen gemeinsamen Nenner bringen”? Sie stammt – wie gar nicht so selten – aus der Mathematik, und zwar natürlich aus der Bruchrechnung. Nehmen wir ein Beispiel: 2/9+5/9=7/9, klaro. Aber was ist 3/10+5/12? Nun, wir müssen hier “auf einen gemeinsamen Nenner kommen”, d.h. eine Zahl finden, die sowohl 10 als auch 12 als Teiler hat. 120 ist eine solche Zahl, aber ein unnötig großes gemeinsames Vielfaches von 10 und 12. Die Zahl 60 tut es auch schon, sie ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 10 und 12, der kleinste gemeinsame Nenner der beiden Brüche. Also 3/10+5/12= 18/60+25/60=43/60! 

Ein Traktor, vier Räder, und es geht los. Das Vorderrad, hat einen roten Markierungspunkt, das Hinterrad hat einen gelben. Am Start sind auf dem Weg entsprechende Punkte auch auf dem Weg angebracht. Wir fahren los, und zwar so weit, bis die beiden Markierungspunkte wieder unten sind:

Fragen wir uns jetzt, wie oft sich die beiden Räder gedreht haben, so hilft uns hier das kgV(=kleinste gemeinsame Vielfache). Die Länge des Weges, den jedes der beiden Räder zurückgelegt, muss dieselbe sein. Die Länge des Weges, die das Vorderrad zurückgelegt hat, ergibt aus seinem Umfang und der Anzahl seiner Umdrehungen. Dasselbe gilt für den Weg, den das Hinterrad zurückgelegt hat. Da das Vorderrad einen Umfang von 18 Einheiten hat und x Umdrehungen gemacht hat, ist sein Weg 18x lang. Das Hinterrad hat einen Umfang von 20 Einheiten und y Umdrehungen gemacht, also hat es einen Weg von 20y zurückgelegt. Da beide Terme dieselbe Weglänge beschreiben, muss 18x=20y sein. Die Lösung mit den  kleinsten natürlichen Zahlen für diese Gleichung ist Antwort auf unsere Frage.  Das kgV von 18 und 20 ist 180, mit x=10 und y=9 haben wir die gesuchte Antwort.

Und wieder Räder!

Zahnräder sind übersichtlich! In zwei Beispielen greifen zwei und im dritten vier Zahnräder ineinander, und zwar natürlich so, dass sie sich nicht blockieren. In einer beliebigen Stellung sind die Positionen durch je einen roten Strich so markiert, dass man diese spezielle Stellung der drei bzw. vier Räder wiedererkennen kann. Hier geht es jetzt um die Frage, wie oft sich die verschieden großen Räder jeweils drehen müssen, bis die gekennzeichnete Situation zum ersten Mal wieder erreicht wird.

Damit Du beliebige Fragen selbst beantworten kannst, z.B. nach wie vielen Umdrehungen sich die beiden größten Zahnräder wieder in dieser Position befinden werden oder alle vier, bekommst Du hier – nach der Größe geordnet – die Anzahl ihrer Zähne: 40, 36, 30, 20, 15 und 10. Die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von mehreren Zahlen funktioniert wie bei zwei Zahlen. Zur Kontrolle das kgV aller sechs Zahlen ist 360!

Es gibt wieder einmal ein buntes Kinderspielzeug in der Mathothek mit dem man “spielend” lernen kann:

Damit sich die Zahnräder drehen können und nicht blockieren gibt es Farbsignale. Es müssen natürlich nicht alle sieben Räder benutzt werden. Es gibt leider nur zwei Größen bei den Zahnrädern. Trotzdem ist die Frage, nach wie vielen Umdrehungen eine Ausgangsstellung aller Räder wieder erreicht wird, nicht uninteressant.

Außerdem ist es gerade für jüngere Besucher hier leicht möglich, den Zusammenhang von Zahnradsystemen und Drehsinn zu erfahren.