Mathothek

Jede natürliche Zahl ist durch 1 teilbar. Aber auch durch sich selbst, z.B. 1:1=1,  19:19=1, 122.405:1=122.405, 17:17=1, 219:219=1 usw. Besitzt eine natürliche Zahl, die nicht 1 ist, nur zwei Teiler, so nennt man sie eine Primzahl. So sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29 die ersten zehn Primzahlen. Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl nennt man ihre Teilermenge, z.B. die Teilermenge von 50 ist die Menge der Zahlen 1, 2, 5, 10, 25 und 50 und die Teilermenge von 36 sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36. Die Zahlen 1 und 2 sind die gemeinsamen Teiler von 50 und 36. Der größte gemeinsame Teiler von 50 und 36 ist 2. Der größte gemeinsame Teiler von 48 und 60 ist 12, von 34 und 25 ist der größte gemeinsame Teiler 1. Wenn nur 1 gemeinsamer Teiler zweier Zahlen ist, dann ist 1 auch der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen. Zwei Zahlen, die nur die 1 als gemeinsamen Teiler haben, nennt man auch teilerfremd oder relativ prim.

Der Umgang mit der Teilbarkeit natürlicher Zahlen, der geübt werden muss und auch zum tieferen Verständnis der natürlichen Zahlen beiträgt, kann mit dem oben abgebildeten Exponat der Mathothek spielerisch geübt und erfahren werden. Als Vorspiel sollten in der obigen Tabelle für alle Paare die gemeinsamen Teiler bestimmt und dann die teilerfremden Zahlenpaare mit den grünen Glasnuggets gekennzeichnet werden:

 In dieser Tabelle sind alle möglichen Ergebnisse beim Würfeln mit zwei verschiedenen normalen oder beim zweimaligem Würfeln mit einem normalen Würfel zu finden. Die 23 Fälle, bei denen die beiden gewürfelten Zahlen teilerfremd sind, d.h. den größten gemeinsamen Teiler 1 haben, sind mit einem grünen Glasnugget belegt. Daraus lässt sich leicht ein Spiel gestalten: Mehrere Spieler würfeln reihum, und zwar wie oben beschrieben. Wer dabei zwei Augen geworfen hat, die gemeinsam nur die 1 als Teiler besitzen, bekommt einen Punkt. Wer nach einer vereinbarten Zahl von Runden die meisten Punkte gesammelt hat, ist der Gewinner. Natürlich sind Abänderungen der Spielregeln möglich, um das Spielen interessanter zu gestalten, z.B. so viele Punkte wie die beiden Zahlen an gemeinsamen Teilern besitzen. Wichtig ist dabei, dass alle Mitspieler die gleichen Gewinnchancen haben.

Bei der Erweiterung des Spiels auf die Zahlen von 1 bis 10, realisiert durch das zweimalige Drehen des Zehner-Glücksrads, gibt es 10⋅10=100 mögliche und 63 günstige Ausgänge. Damit beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 0,63=63 %. Die Zahlen ergeben sich aus der folgenden 10×10-Tabelle, in der die teilerfremden Zahlenpaare durch rote Punkte gekennzeichnet sind.

Mithilfe der großen Würfelsammlung der Mathothek lässt sich die Spielidee weiter abwandeln, z.B. durch die Verwendung der platonischen Würfel (unten).

Spielen mit Würfeln und gewinnen, da stellt sich natürlich die Frage nach der Gewinnwahrscheinlichkeit. Sie hängt einmal von der Fähigkeit des Spielers, die Teilerfremdheit seiner gewürfelten Zahlen zu erkennen, und vom Zufall beim Ergebnis der gewürfelten Zahlen ab. Nehmen wir an, dass es bei dem Erkennen der Teilerfremdheit keine Probleme gibt, z.B. auch keine Zeitbegrenzung vereinbart wird. In diesem Falle ist es ein reines Glücksspiel, die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, erhält man klassisch durch den Quotienten aus der Anzahl der günstigen durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge.

Im ersten Spiel gibt es insgesamt 6⋅6=36 mögliche Ausgänge und davon sind 23 für den Spieler günstig. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit 23/36≈0,64=64 %. Also wird ein Spieler mit ca. 64 % in einer Runde gewinnen.

Bei der Erweiterung des Spiels auf die Zahlen von 1 bis 10, realisiert durch das zweimalige Drehen des Zehner-Glücksrads, gibt es 10⋅10=100 mögliche und 63 günstige Ausgänge. Damit beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 0,63=63 %.

Die Wahrscheinlichkeit, dass man bei zufälliger Bestimmung zweier Zahlen aus den n Zahlen 1, 2, 3, … , n ein Zahlenpaar erhält, das teilerfremd ist, beträgt zwischen 60 % und 70 %. Dabei sind die Ergebnisse bei wachsendem n mal etwas größer, mal etwas kleiner. Aber es existiert ein Grenzwert, wenn n größer und größer wird, wenn also n gegen unendlich geht (n→∞). Dieser Grenzwert beträgt 6/π²≈60,8 %.

Also allgemein stellt sich uns die Frage nach der Zahl der teilerfremden Paare aus den Zahlen 1 bis n, um die gewünschten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Es war wiedermal der großartige Mathematiker Leonhard Euler, der die Antwort auf die Frage fand, wie viele der Zahlen 1, 2, 3, … , n teilerfremd zu n, der größten dieser Zahlen teilerfremd sind, und somit auch die Antwort auf unsere Frage. Aber das soll hier genügen.