Wie können wir helfen?
Im engeren Sinn versteht man unter einem magischen Quadrat der Ordnung n, wobei n eine natürliche Zahl größer zwei ist, ein quadratisches Schema mit n Zeilen und n Spalten, in denen die Zahlen von 1,2,3,4,5,6,7,8,9 bis n2 so eingetragen sind, dass die Summe der n Zahlen jeder Zeile, aber auch jeder Spalte und jeder Hauptdiagonalen immer dieselbe ist. Diese Zahl nennt man auch seine magische Konstante. Sie berechnet sich für ein magisches Quadrat der Ordnung n, indem man die Gesamtsumme aller n2 Zahlen bildet und durch die Anzahl der Zeilen (=Anzahl der Spalten) n teilt. Diese Rechnung lässt sich durch die Formel n(n2+1):2 ausdrücken.
Hier zwei Beispiele magischer Quadrate: Beim ersten Beispiel handelt es sich um ein magisches Quadrat der kleinsten Ordnung n=3, bei dem die magische Konstante 15 beträgt. Alle magischen Quadrate mit n=3 sind bis auf Spiegelungen oder Drehungen gleich.
Das zweite Beispiel stammt von Albrecht Dürer und hat die Ordnung n=4 und die magische Konstante 34.
Mit Phantasie und einer logisch sinnvollen Freiheit sind viele interessante Herausforderungen für intelligente Beschäftigung entstanden. Im ersten Fall wurde eine zusätzliche Bedingung zur Definition des magischen Quadrats hinzugenommen: Auch die Zahlen in den “gebrochenen Diagonalen” müssen addiert die magische Konstante ergeben. Das ist schon ziemlich aufwendig. Deswegen nennt man solche Magischen Quadrate auch teuflisch oder diabolisch. Hier ein gelöstes diabolisches magisches Quadrat der Ordnung 4.
Die kleinen Quadrate mit den Zahlen von 1 bis 16 sind mit farbigen Diagonalen versehen. Sie zeigen einmal die Richtung der gebrochenen Diagonalen. Zum anderen zeigen die sechs verschiedenen Farben die vier Zahlen einer solchen gebrochenen Diagonalen an. Beispiel: Rot zeigt die Zahlen 15, 9, 2 und 8 auf der entsprechenden gebrochenen Diagonalen von links oben nach rechts unten an. Die Zahlen 1, 10, 16 und 7 liegen auf der orange gefärbten gebrochenen Diagonalen, die von links unten nach rechts oben verläuft.
Eine nur sehr geringfügige Abweichung von der Definition eins magischen Quadrats steckt im folgenden Beispiel:
Dieses sehr schöne Exponat der Mathothek, das aus verschiedenen edlen Hölzern hergestellt wurde, erlaubt nicht nur ein griechisch-lateinisches, sondern auch ein magisches Quadrat zu legen, allerdings mit den Zahlen 0 bis 15. Dadurch verändert sich natürlich die magische Konstante.
In dem symmetrisch schön gestalteten Holzkästchen befinden sich einige Aufgaben zur Herstellung magischer Quadrate. Der gemeinsame Nenner dabei ist das älteste und kleinste magische Quadrat, das Lo Shu.
Mit dem grünen 3×3-Brett und den braunen Chips mit den Zahlen 1 bis 9 lassen sich alle magischen Quadrate der Ordnung 3 legen. Wenn man von Spiegelungen und Drehungen (Symmetrien) absieht, gibt es nur ein kleinstes magisches Quadrat.
Unten sind neun Primzahlen (5, 17, 29, 47, 59, 71, 89, 101 und 113) so zu verteilen, dass dann die Summen der Zahlen in jeder der Zeilen, Spalten und Diagonalen eine magische Konstante aufweisen, die 177 beträgt.
In dem nächsten Beispiel sind die neun Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36 zu verteilen. Wie man leicht feststellt, sind diese neun Zahlen alle Teiler von 36.
Wenn Du probiert hast, die Zahlen in den Zeilen jeweils zu addieren, hat das nicht geklappt. Also handelt es sich hier um gar kein magisches Quadrat? Doch, aber man muss statt der Summe in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen das Produkt bilden! Das “magische Produkt” ist dann 216.
Du verstehst die Struktur dieses magischen Quadrats besser, wenn Du die neun Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegst: 2=2, 3=3, 4=2⋅2, 6=2⋅3, 9=3⋅3, 12=2⋅2⋅3, 18=2⋅3⋅3, 36=2⋅2⋅3⋅3, auch wenn die 1 keine Primzahl ist, müssen wir sie als neunte Zahl noch dazunehmen. Das magische Produkt ist 216 und die Primfaktorzerlegung sieht so aus: 216=2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3. Mit diesem Hinweis kannst Du nun eigene ähnliche multiplikative magische Quadrate konstruieren. Im Überblick:
Es gibt in der Mathothek noch ein besonderes Exponat, dass ebenfalls auf dem kleinsten magischen Quadrat aufbaut. Es handelt sich dabei um die vier Varianten einer geometrischen Interpretation: die geomagischen Quadrate.
Das unten abgebildete Quadrat und seine Zahlen geben uns zunächst keinen Ansatz, um ein übliches magisches Quadrat zu entdecken. Aber warum sollte man nicht eine andere Rechenoperation ausprobieren? Wer sich schon vorher mit dem fastmagischen Quadrat aus den Teilern von 36 beschäftigt hat, hat mit der Multiplikation statt der Addition gut Erfahrungen gemacht. Das hilft auch hier, macht aber viel Arbeit, ist doch die magische Konstante 1.073.741.824, und ohne Taschenrechner aufwendig.
Nun erkennt man vielleicht, dass alle 16 Zahlen Potenzen von 2 sind. 1=20, 2=21, 4=22, 8=23, … 32.768=215. Die Potenzgesetze liefern jetzt den Schlüssel: Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert, d.h. 2n ⋅ 2m=2n+m. Wenn wir in dem obigen 4×4-Quadrat nun alle Zahlen durch ihre Exponenten zur Basis 2 (ihrem Logarithmus zur Basis 2) ersetzen, dann erhalten wir folgendes “stinknormale” magische Quadrat:
Hier können wir nun schnell und einfach die Eigenschaften eines magischen Quadrates überprüfen und bestätigen. Übrigens hat dieses dieselbe Struktur wie das berühmte Dürer-Quadrat, nur werden hier statt der Zahlen 1 bis 16 die Zahlen von 0 bis 15 benutzt. Aus diesem Grund beträgt hier die magische Konstante 30. Daraus ergibt sich auch gleich die magische Konstante (magisches Produkt) für das Ausgangsquadrat, nämlich 230=1.073.741.824.
Die nächsten auszufüllenden fastmagischen Quadrate sind symmetrisch ineinander geschachtelt. Jede Ebene der Pyramide ist ein eigenständiges fastmagisches Quadrat, sodass es zu den Ordnungen n=3, 5, 7 und 9 je ein fastmagisches Quadrat gibt. Als große Hilfe sind an der Stirnseite der Pyramide jeweils die magischen Konstanten der entsprechenden Quadrate angegeben: 123, 205, 287 und369.
Die Aufgabe besteht dann darin, dass man auf der Pyramide die fehlenden Zahlen durch passende Zahlen, die sich auf den losen Chips befinden. Die Aufgabe ist nicht besonders schwierig, trotzdem folgt hier die einzige mögliche Lösung.
Das meiner Erachtens vielleicht verblüffendste “magische Quadrat” in der Mathothek ist das folgende Exponat:
Es besteht aus einem roten 4×4-Quadrat mit den Zahlen von 1 bis 16, deren Verteilung uns zunächst nichts zu sagen scheint. Dazu kommen noch 12 dunkelblaue sternförmige Glasnuggets. Die Aufgabe lautet nun: Wähle zufällig eine der 16 Zahlen aus und bedecke mit den Nuggets alle übrigen Zahlen, die sich in derselben Zeile und derselben Spalte wie die ausgewählte Zahl befinden. Wiederhole unter den noch freien Zahlen diesen Vorgang, bis am Ende bis auf die vier ausgewählten und unbedeckten Zahlen alle anderen verdeckt sind. Hier ist ein Beispiel mit richtig umgesetzter Anweisung:
Hier sind es die Zahlen 1, 7, 10 und 16. Ihre Summe beträgt 1+7+10+16=34. Wir haben also vier Zahlen erhalten, deren Summe die magische Konstante beim magischen Quadrat der Ordnung 4 erhalten. Zufall? Gemogelt? Nein! Wiederhole den Vorgang noch mehrmals. Du erhältst jedes Mal dasselbe Ergebnis: die magische Konstante!
In der Mathothek gibt es immer wieder eine Fülle von den verschiedensten Exponaten zu einem Thema oder Bereich, die je nach Interessen, Vorlieben, Vorkenntnissen und Herausforderungen jedem Besucher einen individuellen spielerischen und experimentellen Zugang zur Mathematik möglich machen.