Das Hyperboloid und die Hyperbel – Vom Potenzialtrichter und der Kathedrale in Brasilia

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Die Hyperbel ist ein Kegelschnitt, der aus zwei symmetrischen Kurven besteht. Er entsteht aus dem Schnitt einer Ebene mit einem Doppelkegel. In der Mathothek gibt es ein Exponat, mit dem die verschiedenen Kegelschnitte anschaulich erfasst werden können:

Die Hyperbel ist ein Kegelschnitt. Dabei darf die Schnittebene die Achse des Kegels nicht orthogonal schneiden, weil die Schnittfläche hierbei ein Kreis wäre. Sie darf den Kegel aber auch nicht so schneiden. dass sie parallel zum Kegelmantel ist, hier erhielte man eine Parabel. Die Schnittebene darf jedoch den Kegel auch nicht so schneiden, dass sie den Kegel wieder verlässt. Dann erhielt man als Schnittfläche eine Ellipse. Nur wenn sie den Kegel “anders” schneidet, erhält man eine Hyperbel. Dabei nimmt man meistens einen Doppelkegel zum Zerschneiden. So erhält man die beiden symmetrischen “Äste” einer Hyperbel. Die Hyperbel entsteht, wenn die Schnittebene beide Teilkegel schneidet.

Der Kreis:

Die Parabel:

Die Ellipse:

Die Hyperbel:

Schneidet man den Doppelkegel längs seiner Drehachse, so erhält man als Schnitt zwei sich schneidende Geraden. Alle möglichen Hyperbeln eines Doppelkegels liegen symmetrisch innerhalb dieser beiden Geraden. Dabei nähern sich die Hyperbeläste immer mehr an diese Geraden an. Man spricht von den Asymptoten der Hyperbeln.

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Die beiden folgenden Bilder zeigen noch einmal den Kegelschnitt, der die Hyperbel erzeugt. Dabei ist auf der oberen Abbildung die Kurve (=Menge der Randpunkte) der Hyperbel und auf der unteren die Fläche der Hyperbel grün gefärbt. Wie beim Kreis ist bei den anderen Kegelschnitten Kurve oder Fläche gemeint sein. Dass muss, wenn es notwendig ist, genau festgelegt werden.

Da eine Hyperbel zwei Symmetrieachsen besitzt, lassen sich mit ihr auch zwei verschiedene Rotationskörper erzeugen. Erstens kann man eine Hyperbel um ihre senkrechte Symmetrieachse rotieren lassen. Dann erhält man durch die Rotation der Hyperbelflächen ein zweischaliges symmetrisches Hyperboloid. Lässt man die Hyperbel um ihre waagrechte Symmetrieachse rotieren, so erhält man das häufiger zu findende einschaliges Hyperboloid.

Um die Erzeugung eines ein- bzw. zweischaligen Hyperboloids durch die Rotation einer Hyperbel besser zu verstehen, entsteht in der Mathothek z.Z. ein neues Objekt, um diese Entstehung erfahrbar zu machen.

Das einschalige Hyperboloid spielt in der Architektur aus verschiedenen Gründen eine große Rolle, z.B. bei der Gestaltung der Kathedrale von Brasilia, der jungen Hauptstadt Brasiliens. Ihr hat der Architekt Oscar Niemeyer die Form eines einschaligen Hyperboloids gegeben. Möglicherweise erinnert die äußere Form an betende Hände. Hier ein Bild dieses modernen Kirchenbaus in der Mathothek. Aber auch die meisten Kühltürme und andere Industriebauten haben diese Gestalt aus Stahlbeton. Es gibt aber auch solche hyperboloidischen Konstruktionen aus Holz- und Bambusstangen.

Tatsächlich ist nicht nur die Ästhetik entscheidend, sondern auch die besonderen für die Stahlbetonbauweise hervorragend nutzbaren mathematischen Eigenschaften des Hyperboloids. Stahlbetonbauten verbinden die günstige Verbindung von Stahlstäben und Beton. Warum das bei Hyperboloiden so gut zusammenpasst, zeigen folgende Objekte in der Mathothek. Das erste Objekt ist ein nicht drehbares Fadenmodell mit zwei Hyperboloiden:

Bei dem zweiten Objekt lassen sich drehen der beiden Kreisscheiben praktisch alle Hyperboloide zwischen Zylinder und Doppelkegel erzeugen.

So zeigt der stabile Hocker aus Bambus ebenso wie das obige Fadenmodell die Entstehung eines einschaligen Hyperboloids durch Rotation einer windschiefen Geraden um eine Achse.

Dieser Bambushocker zeigt das Prinzip. Man erkennt hier die Konstruktion eines einschaligen Hyperboloids aus schräg angeordneten Bambusstäben. Sie werden im Stahlbetonbau durch entsprechende Stahlstäbe ersetzt und als Skelett des Betonbaus genutzt. Die Bilder eines weiteren Objekts der Mathothek zeigen, wie zwischen Zylinder und Doppelkegel durch Drehung der Grundkreise die verschiedensten Hyperboloide entstehen.    

Wegen dieser besonderen Eigenschaft des einschaligen Hyperboloids, dass es sich trotz der äußeren geschwungenen Form aus Geraden aufbauen lässt, zählt es in der Mathematik zu den sogenannten regulären Körpern.

Diese Eigenschaft des regulären Körpers zeigt auch ein Objekt der Mathothek, das auch als Überlebensmittel dienen kann für Besucher, die sich einschließen  haben lassen:

Auch im Alltag begegnet uns völlig unschuldig das Hyperboloid, wo es kaum jemand bewusst wahrnimmt: im Blumenladen in Form des “Floristen-Hyperboloids”

 

Es gibt noch ein weiteres sehr beliebtes Exponat in der Mathothek, in dem ein weiteres Hyperboloid steckt und das häufig seine Attraktivität zur Spendeneinnahmen hergeben muss:

Es handelt sich hier um einen Potenzialtrichter, wie er in vielen Museen und Ausstellungen zu finden ist und den Zweck hat, die Einnahmen zu erhöhen. Die großen und vor allem kleinen Besucher legen Münzen so auf den Rand, dass diese dann nach einer anscheinend endlosen spiralförmigen Bewegung schließlich  in einem “schwarzen Loch” verschwinden. Allerdings können die Besucher der Mathothek den kleinen Potenzialtrichter ohne Geldspende benutzen: In der Mathothek stehen Münzen aus der DM-Zeit zur Verfügung. Was nicht nur für ältere Besucher interessant ist. Bei den jüngeren ist das natürlich häufig von besonderem Interesse.

Von diesem Zweck abgesehen, dient das Objekt als faszinierende trichterförmige Modellierung der Bewegung von Himmelskörpern, der Planetenbewegung im Gravitationsfeld der Sonne. Das ist auch die eigentliche Funktion dieser kleinen Version aus dem Shop des Mathematikums in Gießen.

Der Trichter ist so geformt, dass die Bewegungen der Münzen den Planetenbewegungen um eine Sonne entsprechen, wobei sich die “Sonne” in der Mitte des Trichters befindet. Wirft man die Münzen geschickt auf der “Einlaufbahn” in Richtung Mitte, so lassen sich elliptische Bahnen erzeugen – die gleiche Form, die Planeten um die Sonne beschreiben. Wie bei der Planetenbewegung werden die Münzen zur Mitte hin immer schneller.

Von oben gesehen ist der Potenzialtrichter rotationssymmetrisch, von der Seite aus gesehen ist er durch Hyperbeln begrenzt, es handelt sich also um ein geeignetes Stück eines einschaligen Hyperboloids.

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