In einer Fernsehsendung über die Geschichte der Mathematik zum Thema Zahlen und Rechnen fühlte ich mich durch einen Beitrag „mathothekisch“ besonders angesprochen. Es ging dabei um eine Unterrichtsstunde mit jüngeren chinesischen Kindern, die das große Einmaleins erlernten. Dazu hatte jedes der Kinder einen kleinen Stapel Holzstäbchen – die mich natürlich an „Essstäbchen“ erinnerten – vor sich auf dem Tisch liegen, mit deren Hilfe sie die Multiplikation zweistelliger Zahlen nur mit der Addition bewerkstelligten. Daraus entstand die Idee, die Mathothek mit einem weiteren charakteristischen Objekt zu bereichern. Sicher wird dieses einfache Exponat mit seinem Reiz den Taschenrechner nicht verdrängen, aber es kann dabei helfen, ein grundlegendes Verständnis für die Multiplikation und das Dezimalsystem zu erreichen. Dabei sind die materiellen Zutaten einfach herzustellen. Man benötigt für dieses Experiment mal gerade 4×9=36 Holzstäbchen, weil 99 die größte zweistellige Zahl und damit 99×99 die größte zu berechnende Aufgabe ist. Notfalls könnten hier auch gekaufte „Essstäbchen“ oder geeignete „Holzspießchen“ aus der Küche zum Einsatz kommen.
Für die Mathothek wurde das Hölzchenset nicht aus 36 gleichen Holzstäbchen zusammengestellt, sondern im Hinblick auf die Darstellung von Zehnern und Einern aus dickeren (5mm) und dünneren (3mm), aber gleichlangen Stäbchen. Diese kleine Abänderung erleichtert das Verständnis und hilft Fehler zu vermeiden.
Der Algorithmus für die Stäbchen-Multiplikation soll hier zunächst an verschiedenen Beispielen vorgeführt und erklärt werden, und zwar mit den den Stäbchen der Mathothek.
Der Grundgedanke bei dieser Multiplikationstechnik, die auf dem Dezimalsystem fußt und sich hier auf die Multiplikation maximal zweistelliger Zahlen beschränkt, besteht darin, die Multiplikation auf die Addition zurückzuführen: 12×25=25+25+25+25+25+25+25+25+25+25+25=300 als Beispiel.
Für einstellige Zahlen – also das kleine Einmaleins – ist die Stäbchenmethode zwar nicht wirklich hilfreich, aber natürlich möglich und macht das Verständnis für zweistellige Zahlen leichter.
Beispiele: 3×5=15 und 7×4=28
Man sieht sofort, dass man hier die Produkte „5×3=15“ und „4×7=28“ durch bloßes Abzählen der Schnittpunkte der Stäbchen erhält. Ein Vertauschen der Stäbchen und damit der beiden Faktoren spielt wegen der Kommutativität von Addition und Multiplikation keine Rolle.
Mit dem nächsten Schritt erweitern wir unser Stäbchenverfahren auf die Multiplikation einer einstelligen mit einer zweistelligen Zahl.
Beispiele:
Beispiele: 5×12=60, denn 5×10+10×1=60 und 4×25=100, denn 8×10+20×1=100
Man beachte die Benutzung des breiteren Stäbchens für die Zehn und zweier schmaler Stäbchen bei der Darstellung von 12. Wichtig ist, dass die Einer- und Zehnerstäbchen für jeden der beiden Faktoren parallel liegen und sich die Einer- und die Zehnerstäbchen beider sich schneiden.
Jetzt zum großen Einmaleins!
Wir lösen die Aufgabe 12×31:
Mithilfe der ungleichen Stäbchen der Mathothek legen wir mit einem dickeren Stäbchen und zwei dünnen die Zahl 12 schräg von links nach unten und die Zahl 31 mit drei Zehner- und einem Einerstäbchen von rechts oben nach links unten:
Wir nehmen jetzt als Beispiel die Aufgabe 25×31=775:
6 Schnittpunkte von dickeren Zehnerstäbchen – also 600 – , 17 Schnittpunkte von dünnen und dicken Stäbchen – also 170 – und 5 Schnittpunke dünner Stäbchen. Das ergibt 775.
Als weiteres Beispiel rechnen wir das Quadrat von 25:
Wir bekommen 4×100+2×50+2×50+25×1=625.
Um die Vorteile der „Matho-Stäbchen“ zu erkennen, folgt hier ein Beispiel mit den „Einheitsstäbchen“:
Um welche Aufgabe(n) handelt es sich hier, wenn keine weiteren Regeln bekannt sind oder solche vergessen wurden: 12×13, 31×12, 21×13, 31×21,13×12, …?
Dagegen ist es wesentlich einfacher, aus den folgenden Beispielen die Aufgabenstellungen zu entnehmen und die Produkte zu berechnen, ohne Fehler zu machen:
Hier sind die vier Lösungen in veränderter Reihenfolge: 2982; 625; 693; 144.
Zusammenfassend sei noch einmal auf die großen Vorteile der „Mathothek-Stäbchen“ mit ihren zwei verschiedenen Breiten hingewiesen. Man läuft nicht Gefahr, Einer und Zehner einer der beiden Faktoren zu vertauschen, man kann mit einem Blick überprüfen, dass sich jeweils die Einer-Stäbchen des einen Faktors mit denen des zweiten Faktors schneiden, ebenso die Zehner-Stäbchen. Liegen dann auch noch die Einer- und Zehner-Stäbchen der beiden Faktoren parallel, kann es nur noch beim Auszählen der Schnittpunkte schiefgehen. Das liegt im Wesentlichen daran, dass für die Addition und die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt. Diese Beziehung entspricht beim Legen und Rechnen mit Stäbchen einer Spiegelung an der senkrechten bzw. waagrechten Achse.
Es kann auch Spaß machen, sich mit dem Zusammenhang von dieser Stäbchen-Rechnung zu dem üblichen Algorithmus unserer schriftlichen Multiplikation zu beschäftigen. Vergleiche einmal die schriftliche Berechnung von 21×37 mit der Stäbchenmethode:
21=2 Zehner + 1 Einer, 37=3 Zehner + 7 Einer
(2 Zehner + 1 Einer) x (3 Zehner +7 Einer) =
6 Hunderter + 3 Zehner + 17 Zehner + 7 Einer =
7 Hunderter +7 Zehner +7 Einer
Wer immer noch die Kosten für die Anschaffung der Stäbchen scheut, kann natürlich einfach auch Bleistiftstriche als Stäbchen auf einem Blatt Papier benutzen. So wie es Professor Beutelspacher, der Gründer des Mathematikums in Gießen, bei seinem Besuch 2022 in der Aula des GMB gemacht hat:
Es gibt in der Mathothek noch ein „edleres“ Exponat zu diesem Thema:
