Wie können wir helfen?
Ein Brett mit Reihen, die durch kleine Leisten getrennt sind, und kleine Ziffern aus Holz, daraus besteht dieses Exponat. In neun Reihen sind je fünf Zahlen vorgegeben. Die letzte Reihe ist leer. Die erste Reihe mit den Zahlen 1, 2 3, 4, 5 sagt eigentlich schon, was zu tun ist: Man soll diese Reihe fortsetzen, was hier natürlich nicht schwer ist. Handelt es sich hier doch um die Folge der natürlichen Zahlen. Bei der zweiten Reihe erkennt man schnell, dass jede folgende Zahl um 2 größer ist als die Vorgängerin. Also setzt man die Folge mit den Zahlen 11, 13, 15, 17, 19, 21 usw. fort. Die nächste Reihe besteht aus den Quadratzahlen der natürlichen Zahlen. In der nächsten Reihe haben die Zahlen der Vielfachen von sieben ihren Auftritt. Die nächsten Zahlen sind die ersten fünf Stufenzahlen des Binärsystems oder – was dasselbe ist – die ersten fünf Zweierpotenzen 2n. In der nächsten Reihe verwirrt es, dass die Zahlen zwar insgesamt größer werden, aber in jedem zweiten Schritt die Nachfolge-Zahl kleiner wird. Die Folge beginnt mit 1, dann heißt es plus 6, anschließend minus 5, dann wieder plus 6 und wieder minus 5 usw. Bei den vorgegebenen Zahlen der nächsten Reihe kommt man mit der Suche nach einer Rechenvorschrift gar nicht weiter, weil es sich um die Folge der Primzahlen handelt. Eine natürliche Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt, oder sie nicht eins ist, und nur durch sich selbst und eins teilbar ist. Die nächste Zahlenfolge ist in der Mathematik und auch in der Natur und der Kunst von großer Bedeutung. Diese Folge ist mit dem goldenen Schnitt verwandt: Teilt man zwei aufeinanderfolgende Zahlen dieser Reihe – kleinere Zahl durch die größere folgende Zahl – so kommt das Ergebnis dem Wert des goldenen Schnitts immer näher, je weiter man in der Folge fortschreitet. Allerdings hilft diese Information wenig bei der Suche nach den nächsten Folgegliedern. Die Rechenvorschrift ist aber nur schwer aus den fünf gegebenen Zahlen zuerkennen: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5. Demnach lauten die nächsten Folgezahlen 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21 usw. Die Folge hat ihren Namen von einem italienischen Mathematiker und Kaufmann aus der Renaissance: Fibonacci-Folge. Die vorgegebenen Zahlen der letzten Folge erfordern ein “Um-die-Ecke”-Denken. So wie sie da stehen ergeben sie keinen überzeugenden Sinn. Dass nur 0 und 1 als Ziffern vorkommen, ist ein möglicher Hinweis darauf, dass es sich um Binärzahlen handeln könnte: 110, 111, 1000, 1001 usw. wären dann die nächsten Zahlen in der Folge. Damit ist die neunte Folge dieselbe wie die erste, allerdings in binärer Darstellung. Die freie Reihe lässt Platz für eigene Ideen.
In Intelligenztests findet man solche analytischen Aufgaben und es zeugt gewiss von entsprechenden intellektuellen Fähigkeiten, wenn die Testperson solche Gesetzmäßigkeiten herauszufinden in der Lage ist. Aber mathematisch gesehen, ist die Fortsetzung auf diese eine Art nicht zwingend. Man könnte die Zahlen 1, 3, 5, 7 beispielsweise mit 9, 11, 13, 15, … oder auch mit 11, 13, 17, 19, … fortsetzen. Und nicht nur auf die beiden Arten. Erst, wenn die gefundene Regel als allgemeines Baugesetz ausgesprochen wird, kann man entscheiden, ob die Fortsetzung richtig oder falsch ist. Eine mathematische Folge wird durch eine eindeutige Zuordnungsvorschrift festgelegt, die zu jeder natürlichen Zahl n eine eindeutig bestimmte Zahl an zu ordnet. Eine Folge ist also eine mathematische Funktion oder Abbildung mit der Menge der natürlichen Zahlen als Definitionsbereich. Der Funktions-, Zuordnungs- oder Abbildungsbegriff ist für die Mathematik grundlegend.
Man kann auch nicht natürliche Zahlen als Funktionswerte oder Folgeglieder zulassen. So erhält man z.B. die Folge der Stammbrüche (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …) oder die Folge der Wurzeln der natürlichen Zahlen (1, √2, √3, 2, √5, √6, √7, √8, 3, …). Zu dieser Folge gibt es in der Mathothek ein hübsches Exponat, die Wurzelspirale:
