Mathothek

Beide Klassen von geometrischen Körpern haben gemeinsam, dass ihre Begrenzungsflächen regelmäßige Polygone (= Vielecke) sind. Polygone sind genau dann regelmäßig, wenn alle ihre Seiten gleich lang und alle ihre Innenwinkel gleich groß sind. Alle platonischen und archimedischen Körper sind konvex. Jede Ecke eines solchen Körpers ist gleich. Die fünf platonischen Körper sind besonders symmetrisch: Alle Seitenflächen eines platonischen Körpers sind entweder gleichseitige Dreiecke, Quadrate oder regelmäßige Fünfecke. Hier sind die Abbildungen der fünf platonischen Körper:

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Und als Kantenmodelle sehen sie so aus:

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Alle archimedischen Körper haben mindestens zwei Arten und höchstens drei Arten regelmäßiger Vielecke als Begrenzungsflächen. Einer der häufigsten Fußbälle hat die Struktur eines archimedischen Körpers aus 20 regelmäßigen Fünf- und 12 regelmäßigen Sechsecken.

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Ein anderer besteht aus 12 regelmäßigen Fünfecken und 20 gleichseitigen Dreiecken, ein weiterer der 13 archimedischen Körper.

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Insgesamt gibt es genau 13 verschiedene archimedische Körper. Als regelmäßige Seitenflächen treten regelmäßige Dreiecke, Vierecke. Fünfecke, Sechsecke, Achtecke und Zehnecke auf.

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Alle archimedische Körper kann man durch Abstumpfung aus den fünf platonischen Körpern herstellen. Darauf beziehen sich dann auch in der Regel ihre Namen. Die folgenden Bilder zeigen farbige Kantenmodelle aller 13 archimedischen Körper. Diese Objekte wurden aus einem Bausatz dafür bestimmter Klickies gebaut und baumeln in der Mathothek von der Decke. Sie dürfen nach Rücksprache auch auseinandergenommen und neu zusammengebaut oder zu den entsprechenden platonischen Körpern verwandelt werden.

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Vor diesem vollständigen Satz archimedischer Körper entstanden schon einige Kantenmodelle aus Messingröhrchen. Aber es ließen sich wegen zu großer Instabilität nicht alle archimedische Körper auf diese Weise konstruieren. Hier ein paar Beispiele:

 

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An drei archimedischen Körpern sollen nun noch exemplarisch ihr Zusammenhang mit den jeweiligen platonischen Körpern deutlich gemacht werden: von Tetraederstumpf und Tetraeder,  von Ikosaederstumpf (Fußballkörper) und Ikosaeder sowie von Oktaederstumpf und Oktaeder.

So wird aus einem Tetraederstumpf ein Tetraeder und umgekehrt: 

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So wird aus einem Oktaederstumpf ein Oktaeder und umgekehrt:

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Und so entsteht aus einem “Fußball” ein Ikosaeder und umgekehrt:

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Schon Johannes Kepler sprach einmal von einem 14. archimedischen Körper. Erst 1930 entdeckte der britische Mathematiker Miller einen konvexen Körper mit acht gleichseitigen Dreiecken und 18 Quadraten als Seitenflächen und gleichen Ecken: ein Dreieck und drei Quadraten. Das entspricht zunächst dem (Kleinen) Rhombenkuboktaeder. Aufgrund der Tatsache, dass die Ecken zwar lokal gleich sind, aber nicht global (mit der weiteren Umgebung), blieb man aber weitgehend dabei, dieses Pseudo-Rhombenkuboktaeder nicht als archimedischen Körper anzusehen.

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Warum werden diese Prismen und Antiprismen nicht zu den archimedischen Körpern gezählt, obwohl sie doch auch konvex und aus regelmäßigen Vielecken aufgebaut sind?

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Prismen werden als eine eigene Klasse von geometrischen Körpern betrachtet. Diese speziellen Prismen haben die Höhe 1 und damit Quadrate und gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen, was nicht in der Definition von Prisma und Antiprisma festgelegt wird. Ihre Höhen können beliebig sein.

So nimmt man die Prismen und Antiprismen (mit der Höhe 1) aus der Definition von archimedischen Körpern heraus.

Nicht nur bei der Herstellung von Fußbällen greift man auf die Idee der archimedischen Körper zurück. Bei dem folgenden Gajah-Ball, der in Südostasien sehr verbreitet und mathematisch ein Isidodekaeder ist, erkennt man seine Entstehung aus dem Dodekaeder sehr gut. Das gilt aber auch für den Ball aus blauen, gelben und roten Ringen.

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Kohlenstoff C bildet viele verschiedene Verbindungen mit sich. Bei der Entdeckung einer solchen Verbindung von 60 Kohlenstoffatomen brachte der Fußball die Erleuchtung. Seine C-Atome sind angeordnet wie die Ecken bei einem Ikosaederstumpf (=Fußballkörper):

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