Wie können wir helfen?
Dieses interaktive Exponat besteht aus einer Grundplatte mit Leiste, die verschiedene Symbole erklärt, z.B. Hoch-, Tief- und Wendepunkt usw., mehreren entsprechenden weißen Plastikplatten und hauptsächlich – einem biegsamen Kurvenlineal. Das ganze Objekt erlaubt dem Besucher der Mathothek einen sehr anschaulichen und “begreifbaren” Zugang zu differenzierbaren Funktionen und der Kurvendiskussion. Der Besucher fühlt sich aufgefordert, nach den Vorgaben der einzelnen Blätter stimmige Graphen zu formen.
Eine grundlegende Teildisziplin der Mathematik ist die Analysis, die ganz wesentlich im 19.Jahrhundert entwickelt wurde. Ihre wesentlichen Grundbegriffe sind die Zahlen und Funktionen (Zuordnungen, Abbildungen, Transformationen, …) und ihre Eigenschaften. Durch eine Funktion erfolgt eine eindeutige Zuordnung der Elemente einer ersten Menge (meist Zahlen) zu den Elementen einer zweiten Menge (auch meistens Zahlen). Die erste Menge heißt Definitionsbereich, die zweite Menge Wertevorrat oder Zielmenge. Nehmen wir die einfachste quadratische Funktion als Beispiel: Definitionsbereich=Menge der reellen Zahlen, Wertevorrat=Menge der nicht negativen reellen Zahlen und die Zuordnungsvorschrift lautet x→x2 oder y=x2. Zeichnet man den Graphen dieser Funktion in ein Koordinatensystem ein, erhält man eine Normalparabel. Graph der Funktion meint die Menge aller Punkte (x;y), die die Bedingung y=x2 erfüllen. Zeichnet man den Graphen einer Funktion in ein Koordinatensystem, kann man viele Eigenschaften der Funktion anschaulich erkennen: Die Funktion kann steigen oder fallen, nach rechts oder links gekrümmt sein, ein Maximum oder Minimum besitzen, verschiedenes Symmetrie- und Grenzwertverhalten besitzen.
Eine besonders nützliche Eigenschaft einer Funktion ist es, wenn sie differenzierbar, mehrfach differenzierbar oder gar unendlich oft differenzierbar ist. Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt eine Tangente besitzt. Anschaulich bedeutet das, dass differenzierbare Funktionen besonders “glatt und geschmeidig” sind und keine “Ecken und Kanten” haben.
Aus diesem Grunde eignet sich ein so genanntes Kurvenlineal zur grafischen Darstellung von differenzierbaren Funktionen und ihrer “sinnlichen” Erfahrung ganz besonders gut. Ein solches biegsames Lineal vermittelt einem “ein gutes Gefühl” für die besonderen Merkmale differenzierbarer Funktionen.
Beispiel einer unendlich oft differenzierbarer Funktion, die achsensymmetrisch ist, drei Hochpunkte (relative Maxima), zwei Tiefpunkte (relative Minima), wo das Steigen der Funktion ins Fallen bzw. umgekehrt übergeht, sechs Wendepunkte an denen Links- in Rechtskrümmung bzw. umgekehrt wechselt.
Bei dieser differenzierbaren Funktion haben wir ein ständiges Fallen, einen Wendepunkt, an dem die Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung übergeht und zwei Grenzwerte a und b, f(x)→a, wenn x→-∞ und f(x)=b, wenn x→+∞ geht.
Hier geht es natürlich nur um eine erste und sehr anschauliche Annäherung und Vermittlung dieses Teils der Mathematik – die aber für Motivation und Verständnis ganz wichtig ist. Durch das Studium der Analysis erfährt man dann, welches großartige Stück Geistesarbeit Mathematiker hier auf dem Weg von der Anschauung zur logisch sauberen Definition der Begriffe, wie z.B. Stetigkeit, Ableitung und Integral, Tangente, Steigen und Fallen, Krümmungs- und Grenzwertverhalten, Hoch-, Tief- und Wendepunkte usw. geleistet haben. Auf einem solch soliden Fundament konnte dann das großartige logische Gebäude der Differenzial- und Integralrechnung (Analysis) errichtet werden. Eine mathematische Theorie, die eine breite und tragende Bedeutung in ihren Anwendungen hat.